环球都知谈麦克斯韦从麦克斯韦方程组里推导出了电磁波，然后通过遐想发现电磁波的速率碰巧等于光速。于是，麦克斯韦就预言“光是一种电磁波”，这个预言自后被赫兹证据。

电磁波的发现让麦克斯韦和他的电磁表面走上了神坛，也让东谈主类社会参预了无线电时间。你目下可以随时给远处的一又友打电话，能用手机看科学类著作，都跟电磁波有着密切的关系。那么，麦克斯韦到底是怎样从麦克斯韦方程组推导出电磁波方程的呢？这篇著作咱们就来沿途见证这一遗址的时刻。

01什么是波？

要和会电磁波，领先咱们得了解什么是波？有些东谈主可能以为这个问题有点奇怪，什么是波这还用问么？我丢一块石头到水里，水面上就会变成一个水波；我抖动一根绳索，绳索上就会就会出现一个波动。生涯中还有好多这种波动风物，我天然念书少，但是什么是波如故知谈的。

没错，水波、绳索上的波动这些都是波，我在这里抛出“什么是波？”这个问题并不是想来掰指头数一数哪些东西是波，哪些不是，而是想问：系数这些叫作波的东西有什么共同的特征？咱们怎样用一套结伴的数学话语来形貌波？

咱们研究物理，即是从万千变化的天然界的各式风物里总结出某种一致性，然后用数学的话语定量、精准的形貌这种一致的风物。目下咱们发现了水波、绳索上的波等许多风物都有这样一种波动风物，那咱们天然就要去寻找这种波动风物背后结伴的数学法例，也即是寻找形貌波动风物的方程，即波动方程。

为了寻找结伴的波动方程，咱们先来望望最浅易的波：抖动一根绳索，绳索上就会出现一个波沿着绳索转移，以恒定的频率抖动就会出现聚积连接的波。

为了更好地研究绳索上的波动，咱们先开荒一个坐标系，然后把细心力都集到其中的一个波上。于是，咱们就看到一个波以一定的速率v向x轴的正宗旨（右边）转移，如下图：

那么，咱们该怎样去形貌这种波动呢？

领先，咱们知谈一个波是在不竭地转移的，上图仅仅波在某个时刻的神态，它下一个时刻就会往右边转移少许。转移了几许也很好遐想：因为波速为v，是以Δt时候以后这个波就会往右转移v·Δt的距离。

另外，我无论这个时刻波是什么口头的弧线，归正我可以把它当作一系列的点（x，y）的都集，这样咱们就可以用一个函数y=f(x)来形貌它（函数即是一种对应（映射）关系，在函数y=f(x)里，每给定一个x，通过一定的操作f(x)就能得到一个y，这一双（x，y）就构成了坐标系里的一个点，把系数这种点连起来就得到了一条弧线）。

然后，y=f(x)仅仅形貌某一个时刻的波的口头，如若咱们想形貌一个完好意思动态的波，就得把时候t商量进来。也即是说咱们的波形是跟着时候变化的，即：我绳索上某个点的纵坐标y不仅跟横轴x联系，还跟时候t联系，这样的话咱们就得用一个二元函数y=f(x，t)来形貌一个波。

这一步很好和会，它无非告诉咱们波是随时候（t）和空间（x）变化的。但是这样还不够，世界上到处都是跟着时候、空间变化的东西，比如苹果下跌、篮球在天上飞，它们跟波的骨子区别又在哪呢？

02波的骨子

仔细想一下咱们就会发现：波在传播的时候，天然不同期刻波所在的位置不一样，但是它们的口头永恒是一样的。也即是说前一秒波是这个口头，一秒之后波天然不在这个地点了，但是它依然是这个口头，这是一个很强的截止要求。有了这个截止要求，咱们就能把波和其它在时候、空间中变化的东西离别开了。

咱们这样商量：既然用f(x，t)来形貌波，那么波的启动口头（t=0时的口头）就可以暗示为f(x，0)。经过了时候t之后，波速为v，那么这个波就向右边转移了vt的距离，也即是把启动口头f(x，0)往右转移了vt，那么这个收尾可以这样暗示：f(x-vt，0)。

为什么把一个函数的图像往右转移了一段vt，收尾却是用函数的自变量x减去vt，而不是加上vt呢？这是一个中学数学问题，我这里稍许帮环球纪念一下：你们想，如若我把一个函数图像f(x)往右转移了3，那么我原本在1这个地点的值f(1)，目下就成了4这个地点的函数值。是以，如若你还想用f(x)这个函数，那信托就得用4减去3（这样才气得到f(1)的值），而不是加3（4+3=7，f(7)在这里可莫得什么道理）。

是以，如若咱们用f(x，t)形貌波，那么启动时刻（t=0）的波可以暗示为f(x，0)。经过期候t之后的波的图像就等于启动时刻的图像往右转移了vt，也即是f(x-vt，0)。于是，咱们就可以从数学上给出波灵通的骨子：

也即是说，只消有一个函数满足f(x，t)=f(x-vt，0)，满足大肆时刻的口头都等于启动口头平移一段，那么它就暗示一个波。水波、声波、绳索上的波、电磁波、引力波都是如斯，这也很得当咱们对波的直不雅和会。

这里咱们是从纯数学的角度给出了波的一个形貌，底下咱们再从物理的角度来分析一下波的变成原因，望望能不成得到更多的信息。

03张力

一根绳索放在地上的时候是静止不动的，咱们甩一下就会出现一个波动。咱们想一想：这个波是怎样传到远处去的呢？咱们的手仅仅拽着绳索的一端，并莫得遭受绳索的中间，但是当这个波传到中间的时候绳索如实动了，绳索会动就暗示有劲作用在它身上（牛爵爷告诉咱们的有趣），那么这个力是那处来的呢？

稍许分析一下咱们就会发现：这个力只能能来自绳索相邻点之间的互相作用，每个点把我方近邻的点“拉”一下，近邻的点就动了（就跟咱们排队报数的时候只见告你左右的阿谁东谈主一样）这种绳索里面之间的力叫张力。

张力的意见也很好和会，比如咱们用劲拉一根绳索，我明明对绳索施加了一个力，但是这根绳索为什么不会被拉长？跟我的手最近的阿谁点为什么不会被拉动？

谜底天然是这个点掌握的点给这个质点施加了一个相背的张力，这样这个点一边被我拉，另一边被它掌握的点拉，两个力的收尾对消了。但是力的作用又是互相的，掌握的点给端点施加了一个张力，那么这个掌握的点也会受到一个来自端点的拉力，关联词这个掌握的点也没动，是以它也势必会受到更里面点的张力。这个进程可以一直传播下去，临了的收尾即是这跟绳索系数的地点都会张力。

何况，咱们还可以料定：如若绳索的质料忽略不计，绳索也莫得打结莫得被拉长，那么绳索里面的张力处处格外（只消有一个点双方的张力不等，那么这个点就应该被拉走了，绳索就会被拉变形），这是个很迫切的论断。

通过上头的分析，咱们知谈了当一根祈望绳索处于紧绷状况的时候，绳索里面存在处处格外的张力。当一根绳索静止在大地的时候，它处于松懈状况，莫得张力，但是当一个波传到这里的时候，绳索会变成一个波的口头，这时候就存在张力了。恰是这种张力让绳索上的点陡立振动，是以，分析这种张力对绳索的影响就成了分析波动风物的关节。

04波的受力分析

那么，咱们就从处于波动状况的绳索中选拔很小的一段AB，咱们来分析一下这个小段绳索在张力的作用下是怎样灵通的。坦然，咱们这里并不会触及什么复杂的物理公式，咱们所需要的公式就一个，大名鼎鼎的牛顿第二定律：F=ma。

牛顿第一定律告诉咱们“一个物体在不受力或者受到的合外力为0的时候会保抓静止或者匀速直线灵通状况”，那么如若合外力不为0呢？牛顿第二定律就接着说了：如若合外力F不为零，那么物体就会有一个加快度a，它们之间的关系就由F=ma来定量形貌（m是物体的质料）。也即是说，如若咱们知谈一个物体的质料m，只消你能分析出它受到的合外力F，那么咱们就可以凭证牛顿第二定律F=ma遐想出它的加快度a，知谈加快度就知谈它接下来要怎样动了。

牛顿第二定律就这样把一个物体的受力情况（F）和灵通情况（a）勾通起来了，咱们想知谈一个物体是怎样动的，只消去去分析它受到了什么力就行了，是以它牛。

再来看咱们的波，咱们从处于波动状况的绳索里及第很小的一段AB，咱们想知谈AB是怎样灵通的，就要分析它受到的合外力。因为不商量绳索的质料，是以就毋庸商量绳索的重力，那么，咱们就只消分析绳索AB两头的张力T就行了。

如上图，绳索AB受到A点朝左下方的张力T和B点朝右上方的张力T，何况咱们还知谈这两个张力是格外的，是以才把它都记为T。但是，咱们知谈波动部分的绳索是鬈曲的，那么这两个张力的宗旨是不一样的，这少许从图中可以相等昭彰的看出来。咱们假定A点处张力的宗旨跟横轴夹角为θ，B点跟横轴的夹角就昭彰不一样了，咱们记为θ+Δθ。

因为绳索上的点在波动时是陡立灵通，是以咱们只商量张力T在陡立方进取的重量，水平时进取的就不商量了。那么，咱们把AB两点的张力T都解析一下，稍许用少许三角函数的学问咱们就能发现：A点出进取的张力为T·sin（θ+Δθ），B点向下的张力为T·sinθ。那么，系数这个词AB段在竖直方进取受到的协力就等于这两个力相减：F= T·sin（θ+Δθ）-T·sinθ。

好了，按照牛顿第二定律F=ma，咱们需要知谈物体的合外力F、质料m和加快度a，目下咱们照旧知谈了合外力F，那么质料m和加快度a呢？

05波的质料分析

质料好说，咱们假定绳索单元长度的质料为μ，那么长度为Δl的绳索的质料即是μ·Δl。

但是，因为咱们取的曲直常小的一段，咱们假定A点的横坐标为x，B点的横坐标为x+Δx，也即是说绳索AB在横坐标的投影长度为Δx，那么，当咱们取的绳长相等短的时候，咱们就可以近似用Δx代替Δl，这样绳索的质料就可以暗示为：μ·Δx（本来我在商量这里要不要再解释一下微积分念念想，但是一想，会看这篇电磁波篇的，必须是照旧提前看了麦克斯韦方程组的积分篇和微分篇，而我在那两篇里照旧先容过这种念念想了，那这里就不说了~）。

质料惩处了，剩下的即是加快度a了。你可能以为我照旧得到了合外力（F= T·sin（θ+Δθ）-T·sinθ）和质料m（μ·Δx），那么剩下信托即是用合外力F除以质料m得到加快度a（牛顿第二定律），不不不，这样就不好玩了。咱们还可以从另一个角度来得到加快度a，然后把它们作为拼盘拼起来。从那处得到加快度呢a？从形貌波的函数f(x，t)里。

06波的加快度分析

不知谈环球还铭刻咱们在前边说的这个形貌波的函数y=f(x，t)么？这个函数的值y暗示的是在x这个地点，时候为t的时候这少许的纵坐标，也即是波的高度。咱们目下要求的也即是AB陡立波动时的加快度，那么，怎样从这个形貌点位置的函数里求出加快度a呢？

这里咱们再来和会一下加快度a，什么叫加快度？从名字就可以嗅觉到，这个量是用来臆想速率变化快慢的。加快度嘛，信托是速率加得越快，加快度的值就越大。假如一辆车第1秒的速率是2m/s，第2秒的速率是4m/s，那么它的加快度即是用速率的差（4-2=2）除以时候差（2-1=1），收尾即是2m/s²。

再来往想一下，咱们是怎样求一辆车的速率的？咱们是用距离的差来除以时候差的。比如一辆车第1秒钟距离早先20米，第2秒钟距离早先50米，那么它的速率即是用距离的差（50-20=30）除以时候差（2-1=1），收尾即是30m/s。

不知谈环球从这两个例子里发现了什么莫得？我用距离的差除以时候差就得到了速率，大阳城app注册下载(SuncityGroup)我再用速率的差除以时候差就得到了加快度，这两个进程都是除以时候差。那么，如若我把这两个进程合到一块呢？那是不是就可以说：距离的差除以一次时候差，再除以一次时候差就可以得到加快度？

这样表述并不是很准确，但是可以很便捷的让环球和会这个念念想。如若把距离看作对于时候的函数，咱们对这个函数求一次导数（即是上头的距离差除以时候差，只不外趋于无尽小）就得到了速率的函数，对速率的函数再求一次导数就得到了加快度的暗示。是以，咱们把一个对于距离（位置）的函数对时候求两次导数，就可以得到加快度的抒发式。

波的函数f(x，t)不即是形貌绳索上某少许在不同本领t的位置么？那咱们对f(x，t)求两次对于时候的导数，天然就得到了这点的加快度a。因为函数f是对于x和t两个变量的函数，是以咱们只能时候的偏导∂f/ ∂t，再求一次偏导数就加个2上去。于是咱们就可以这样暗示这点的加快度a=∂²f/ ∂t²（对于偏导数的先容，微分篇里有详备讲明，这里不再说明）。

这样，咱们就把牛顿第二定律F=ma的三身分都凑都了：F= T·sin（θ+Δθ）-T·sinθ，m=μ·Δx，a=∂²f/ ∂t²。把它们都集在沿途就可以召唤神，阿不，就可以写出AB的灵通方程了：

这个用牛顿第二定律写出来的波动方程，看起来怎样样？嗯，似乎有点丑，看起来也不太泄露，方程左边的东西看着太缺乏了，咱们还需要对它进行一番编削。那怎样编削呢？咱们可以先把sinθ给干掉。

07方程的编削

为了简略得手地干掉sinθ，咱们先来往顾一下基本的三角函数：

如上图，右边是一个直角三角形abc，那么角θ的正弦值sinθ等于对边c除以斜边a，正切值tanθ等于对边c除以邻边b。

当这个角度θ还很大的时候，a比b要昭彰长一些。但是，一花旦度θ相等相等小，可以遐想，邻边b和斜边a就将近重合了。这时候咱们是可以近似的认为a和b是格外的，也即是a≈b，于是就有c/b≈c/a，即tanθ≈sinθ。

也即是说，在角度θ很小的时候，咱们可以用正切值tanθ代替正弦值sinθ。咱们假定这跟绳索的扰动相等小，形变相等小，那么θ和θ+Δθ就都相等小，那么它们的正弦值就都可以用正切值代替。于是，阿谁波动方程左边的sin(θ+Δθ)-sinθ就可以替换为：tan(θ+Δθ)-tanθ。

为什么咱们要用正切值tanθ代替正弦值sinθ呢？因为正切值tanθ还可以代表一条直线的斜率，代表弧线在某少许的导数。想想正切值的抒发式tanθ=c/b，如若建一个坐标系，那么这个c刚好即是直线在y轴的投影dy，b即是在x轴的投影dx，它们的比值刚好即是导数dy/dx，也即是说tanθ=dy/dx。

关联词，因为波的函数f(x，t)是对于x和t的二元函数，是以咱们只能求某少许的偏导数，那么正切值就等于它在这个点的偏导数：tanθ=∂f/ ∂x。那么，原本的波动方程就可以写成这样：

这里我稍许解释一下偏导数的标志，咱们用∂f/ ∂x暗示函数f(x，t)的偏导数，这是一个函数，x可以取各式种种的值。但是如若我加一个竖线|，然后在竖线的右下角标上x+Δx就暗示我要求在x+Δx这个地点的导数。

再来看一下这个图，咱们照旧商定了A点的横坐标为x，对应的角度为θ；B点的横坐标是x+Δx，对应的角度为θ+Δθ。是以，咱们可以用x+Δx和x这两处的偏导数值代替θ+Δθ和θ这两处的正切值tan（θ+Δθ）和tanθ，是以波动方程才可以写成上头那样：

接着，如若咱们再对方程的双方同期除以Δx，那左边就变成了函数∂f/ ∂x在x+Δx和x这两处的值的差除以Δx，这其实即是∂f/ ∂x这个函数的导数抒发式。也即是说，双方同期除以一个Δx之后，左边就变成了偏导数∂f/ ∂x对x再求一次导数，那即是f(x，t)对x求二阶偏导数了。

上头咱们用咱们照旧用∂²f/ ∂t²来暗示函数对t的二阶偏导数，那么这里天然就可以用∂²f/ ∂x²来暗示函数对x的二阶偏导数。然后双方再同期除以T，得到方程就精炼多了：

把方程左边的tan(θ+Δθ)-tanθ变成了函数f(x，t)对空间x的二阶偏导数，这个进程相等的迫切，环球可以好好体会一下这个进程。正切值tanθ即是一阶导数，然后两个正切值的差除以自变量的变化就又产生了一次导数，于是系数就有了两阶，是以咱们才气得到上头阿谁精炼的式子。

08经典波动方程

再望望方程右边的μ/T，如若你仔细去算一下μ/T的单元，你会发现它刚好即是速率的平时，也即是说如若咱们把一个量界说成μ/T的平时根，那么这个量的单元刚好即是速率的单元。可以遐想，这个速率天然即是这个波的传播速率v：

这样界说速率v之后，咱们最终的波动方程就可以亮相了：

这个方程即是咱们最终要找的经典波动方程，为什么把它作作念佛典的波动方程呢？因为它莫得商量量子效应啊，在物理学里，经典就曲直量子的同义词。如若咱们要商量量子效应，这个经典的波动方程就没用了，咱们就必须转而使用量子的波动方程，那即是大名鼎鼎的薛定谔方程。

薛定谔即是从这个经典波动方程启航，勾通德布罗意的物资波意见，硬猜出了薛定谔方程。这个方程让物理学家们从被海森堡的矩阵独揽的懦弱中安详了出来，再行回到了微分方程的好意思好世界。薛定谔方程天然是非，但是它并莫得商量狭义相对论效应，而高速灵通（近光速）的粒子在微不雅世界是很常见的，咱们也知谈当物体接近光速的时候就必须商量相对论效应，但是薛定谔方程并莫得作念到这少许。

最终让薛定谔方程相对论化是狄拉克，狄拉克把我方关在房间三个月，最终逼出了相通大名鼎鼎的狄拉克方程。狄拉克方程初次从表面上预言了反物资（正电子），天然那时的科学家们认为狄拉克这是在歪缠，买球投注平台但是我国的物理学家赵忠尧先生却简直在同期就初次在实践室里不雅测到了正负电子磨灭的情况。

另外，狄拉克的责任也鞭策了量子场论的出生，绽放了一扇让东谈主无比景仰的新世界大门。物理学家们沿着这条路盲从了电磁力、强力、弱力，开荒起了粒子物理的模范模子，于是四海清平，全国大定，除了那活该的引力。这些精妙绝伦的故事咱们后头再讲，如若把这些故事写成一册《量子英杰传》，嗯，一定不比金庸的武侠逊色~

好了，回来正题，看到这个经典波动方程到后头还能掀翻那么大的浪来，是不是顷刻间就对它骚然起敬了呢？咱们这样一顿操作推导出了经典波动方程，有的一又友可能有点懵，不要害，咱们再来捋一下。这个看着很复杂的，包含了二阶偏导数的方程其实就仅仅告诉咱们：咱们把这跟绳索极小的一段看作一个质点，那么这个质点满足牛顿第二定律F=ma，仅此汉典。

09复盘

咱们系数这个词推导进程不外即是去寻找F=ma中的这三个量。咱们把绳索的张力在竖直宗旨作念了解析，然后得到了它在竖直方进取的协力F（T·sin（θ+Δθ）-T·sinθ）；咱们界说了单元长度的质料μ，然后就可以遐想那小段绳索的质料m（μ·Δx）；咱们通过对波的函数f(x，t)的分析，发现如若对这种暗示距离（位移）的函数对时候求一次偏导数就得到了速率，再求一次偏导数就得到了加快度，于是咱们就得到了这段绳索的加快度a（∂²f/ ∂t²）。然后咱们就把这些量按照牛顿第二定律F=ma拼了起来。

在处理问题的进程中，咱们作念了好多近似：因为咱们是取得很小的一段，那么咱们就可以用Δx近似代替绳索的长度Δl；假定扰动很小，绳索偏离x轴很小，那么角度θ就很小，咱们就近似用正切值tanθ代替正弦值sinθ。好多东谈主乍一看，以为这样严格的推导怎样能这样精炼的近似呢？你这里近似那里近似，得到的最终收尾如故准确的么？

要和会这个问题，就得厚爱去学习微积分了，我目下告诉你微积分的中枢念念想即是一种以直代曲的近似，你信么？微积分里即是用各式小段小段的直线去近似的代替弧线，但是得到的收尾却曲直常精准的。因为咱们可以把这些线段取得相等相等的小，或者说是无尽小，那么这个舛错也就冉冉变成无尽小了。是以咱们在分析这跟绳索的时候，也都强调了是取相等小的一段，给一个相等小的扰动，得到一个相等小的角度θ。

另外，tanθ即是一次导数，然后它们的差再除以一次Δx，就又出现了一次导数，是以方程的左边就出现了f(x，t)对位置x的两次偏导数。方程的右边即是函数f(x，t)对时候t求两次偏导数得到的加快度a（求一次导数得到速率，求两次就得到加快度）。

是以，天然咱们看到的是一个波动方程，其实它仅仅一个脚色了的牛顿第二定律F=ma。和会这点，波动方程就没什么奇怪的了。咱们再来仔细的谛视一下这个方程：

这个波动方程的道理也很直不雅，它告诉咱们f(x，t)这样一个随时候t和空间x变化的函数，如若这个二元函数对空间x求两次导数得到的∂²f/ ∂x²和对时候t求两次导数得到的∂²f/ ∂t²之间满足上头的那种关系，那么f(x，t)形貌的即是一个波。

如若咱们去解这个方程，咱们得到的即是形貌波的函数f(x，t)。而咱们前边对波作念数学分析的时候得到了这样一个论断：如若一个函数f(x，t)形貌的波，那么就一定满足f(x，t)=f(x-vt，0)。是以，波动方程的解f(x，t)信托也都满足前边这个关系，这少许感有趣的一又友可以我方下去解释一下。

好了，经典的波动方程咱们就先讲到这里。有了波动方程，你会发现咱们通过几步浅易的运算就能从麦克斯韦方程组中推导出电磁波的方程，然后还能信托电磁波的速率。

10真空中的麦克斯韦方程组

麦克斯韦方程组的微分局面是这样的：

这组方程的始终如一之前照旧作念了详备的先容，这里不再多说。这组方程里，E暗示电场强度，B暗示磁感应强度，ρ暗示电荷密度，J暗示电流密度，ε0和μ0分别暗示真空中的介电常数和磁导率（都是常数），▽是矢量微分算子，▽·和▽×分别暗示散度和旋度：

接下来咱们的任务，即是看怎样从这组方程里推出电磁波的方程。

领先，如若真的能变成波，那么这个波信托就要往听说，在远隔了电荷、电流（也即是莫得电荷、电流）的地点它还能我方传播。是以，咱们先让电荷密度ρ和电流密度J都等于0，当ρ=0，J=0时，咱们得到的即是真空中的麦克斯韦方程组：

有些东谈主以为你怎样能让电荷密度ρ等于0呢？这样第一个方程就成了电场的散度▽·E=0，那不就等于说电场强度E等于0，莫得电场了么？莫得电场还怎样来的电磁波？

好多东谈主入门者都会有这样一种误会：好像以为电场的散度▽·E等于0了，那么就莫得电场了。其实，电场的散度等于0，仅仅告诉你通过包含这少许的无尽小曲面的电通量为0，电通量为0不代表电场E为0啊，因为我可以收支这个曲面的电通量（电场线的数目）格外。这样有几许正的电通量（进去的电场线数目）就有几许负的电通量（出来的电场线数目），收支正负对消了，是以总的电通量如故0。于是，这点的散度▽·E就可以为0，而电场强度E却不为0。

是以这个环球一定要离别明晰：电场E的散度为0不代表电场E为0，它仅仅要求电通量为0汉典，磁场也一样。

这样咱们再来谛视一下真空中（ρ=0，J=0）的麦克斯韦方程组：方程1和2告诉咱们真空中电场和磁场的散度为0，方程3和4告诉咱们电场和磁场的旋度等于磁场和电场的变化率。前两个方程都是孤独的形貌电和磁，后两个方程则是电和磁之间的互联系系。咱们隐糊涂约也能嗅觉到：如若要推导出电磁波的方程，你信托得把上头几个式子详细起来，因为波是要往听说的，而你上头单独的方程都仅仅形貌某少许的旋度或者散度。

有一个很浅易的把它们都详细在沿途的表率：对方程3和方程4双方同期再取一次旋度。

方程3的左边是电场的旋度▽×E，对它再取一次旋度就变成了▽×（▽×E）；方程3的右边是磁场的变化率，对右边取一次旋度也可以得到磁场B的旋度▽×B，这样不就刚好跟方程4研究起来了么？对方程4双方取旋度看起来也一样，这看起来是个可以的兆头。

可能有些一又友会有一些疑问：你凭什么对方程3和4的双方取旋度，而不取散度呢？如若感有趣你可以双方都取散度试试，你会发现电场E的旋度取散度▽·（▽×E）的收尾恒等于0。

这少许你看方程3 的右边会更明晰，方程3的右边是磁场的变化率，你如若对方程左边取散度，那么右边也得取散度，而右边磁场的散度是恒为0的（▽·B=0即是方程2的内容）。这样就得不出什么有道理的收尾，你算出0=0能得到什么呢？

是以，咱们目下的问题变成了：怎样求电场E的旋度的旋度（▽×（▽×E））？因为旋度毕竟和叉乘密切联系，是以咱们如故先来望望叉乘的叉乘。

11叉乘的叉乘

在积分篇和微分篇里，我照旧跟环球详备先容了矢量的点乘和叉乘，何况咱们还知谈点乘的收尾A·B是一个标量，而叉乘的收尾A×B是一个矢量（宗旨可以用右手定章来判断，右手从A指向B，大拇指的宗旨即是A×B的宗旨）。

而点乘和叉乘都是矢量之间的运算，那么A·B的收尾是一个标量，它就不成再和其它的矢量进行点乘或者叉乘了。但是，A×B的收尾仍然是一个矢量啊，那么按照有趣它还可以链接跟新的矢量进行点乘或者叉乘运算，这样咱们的运算就可以有三个矢量参与，这种收尾咱们就称为三重积。

A·（B×C）的收尾是一个标量，是以这叫标量三重积；A×（B×C）的收尾如故一个矢量，它叫矢量三重积。

标量三重积A·（B×C）其实很浅易，我在微分篇说过，两个矢量的叉乘的大小等于它们构成的平行四边形的面积，那么这个面积再和一个矢量点乘一把，你会发现这刚好即是三个矢量A、B、C构成的平行六面体的体积。

这个环球对着上头的图稍许一想就会明白。何况，既然是体积，那么你精炼更换它们的递次信托都不会影响最终的收尾。咱们真实要重心商量的，如故矢量三重积。

矢量三重积A×（B×C），跟咱们上头说电场E旋度的旋度▽×（▽×E）局面相近，密切联系。它莫得上头标量三重积那样浅易直不雅的几何道理，咱们好像只能从数学上去推导，这个推导进程，哎，我如故平直写收尾吧：

A×（B×C）=B（A·C）-C（A·B）。

收尾是这样个东西，是不是很丢脸？嗯，如实有点丑。不外记这个公式有个浅易的口诀：纵横阖捭。什么叫纵横阖捭呢？畴前秦相范雎，啊不，A×（B×C）里的A距离B近一些，距离C远一些，是以A要结伴C（A·C前边的得当是正号）攻打B（A·B前边的标志是负号），这样这个公式就好记了，感有趣的可以我方去完成推导的进程。

12旋度的旋度

有了矢量三重积的公式，咱们就来比葫芦画瓢，来套一套电场E的旋度的旋度▽×（▽×E）。咱们对比一下这两个式子A×（B×C）和▽×（▽×E），好像只消把A和B都换成▽，把C换成E就行了。那么，矢量三重积的公式（A×（B×C）=B（A·C）-C（A·B））就变成了：

▽×（▽×E）=▽（▽·E）-E（▽·▽）。

嗯，▽（▽·E）暗示电场E的散度的梯度，散度▽·E的收尾是一个标量，标量的梯度的有道理的，但是后头阿谁E（▽·▽）是什么鬼？两个▽算子挤在沿途，中间如故一个点乘的标志，看起来好像是在求▽的散度（▽·），但是▽是一个算子，又不是一个矢量函数，你怎样求它的散度？何况两个▽前边有一个电场E，怎样E还跑到▽算子的前边去了？

咱们再看一下矢量三重积的公式的后头一项C（A·B）。这个式子的真义是矢量A和B先进行点乘，点乘的收尾A·B是一个标量，然后这个标量再跟矢量C相乘。很显着的，如若是一个标量和一个矢量相乘，那么这个标量放在矢量的前边后头都无所谓（3C=C3），也即是说C（A·B）=（A·B）C。

那么，相通的，E（▽·▽）就可以换成（▽·▽）E，而它还可以写成▽²E，这样就牵涉出了另一个大名鼎鼎的东西：拉普拉斯算子▽²。

13拉普拉斯算子▽²

拉普拉斯算子▽²在物理学界可谓大名鼎鼎，它看起来好像是哈密顿算子▽的平时，其实它的界说是梯度的散度。

咱们假定空间上少许（x，y，z）的温度由T（x，y，z）来暗示，那么这个温度函数T（x，y，z）即是一个标量函数，咱们可以对它取梯度▽T，因为梯度是一个矢量（梯度有宗旨，指向变化最快的阿谁宗旨），是以咱们可以再对它取散度▽·。

咱们运用咱们在微分篇学的▽算子的伸开式和矢量坐标乘法的规则，咱们就可以把温度函数T（x，y，z）的梯度的散度（也即是▽²T）暗示出来：

再对比一下三维的▽算子：

是以，咱们把上头的收尾（梯度的散度）写成▽²也曲直常容易和会的，它跟▽算子的别离也即是每项多了一个平时。于是，拉普拉斯算子▽²就天然可以写成这样：

从拉普拉斯算子▽²的界说咱们可以看到，似乎它只能对作用于标量函数（因为你要先取梯度），但是咱们把▽²稍许扩展一下，就能让它也作用于矢量函数V（x，y，z）。咱们只消让矢量函数的每个重量分别去取▽²，就可以界说矢量函数的▽²：

界说了矢量函数的拉普拉斯算子，咱们稍许细心一下底下的这个论断（课下我方去解释）：

然后再望望中间的阿谁东西，是不是有点眼熟？

咱们在求电场旋度的旋度的时候，不就刚好出现了（▽·▽）E这个东西么？目下咱们就可以打抱不山地把它替换成▽²E了，于是，电场旋度的旋度就可以写成这样：

▽×（▽×E）=▽（▽·E）-（▽·▽）E=▽（▽·E）-▽²E。

至此，咱们运用矢量的三重积公式推电场E的旋度的旋度的进程就竣事了，然后咱们就得到了这个极其迫切的论断：

它告诉咱们：电场的旋度的旋度等于电场散度的梯度减去电场的拉普拉斯。有了它，电磁波的方程立马就可以推出来了。

14见证遗址的时刻

咱们再来望望真空中的麦克斯韦方程组：

它的第三个方程，也即是法拉第定律是这样暗示的：

咱们对这个公式双方都取旋度，左边即是上头的论断，右边无非即是对磁感应强度B取个旋度，即：

你望望这几项，再望望真空中的麦克斯韦方程组：方程1告诉咱们▽·E=0，方程4告诉咱们▽×B=μ0ε0（∂E/ ∂t），咱们把这两项代入到上头的式子中去，那收尾天然就变成了：

μ0、ε0都是常数，那右边天然就变成了对电场E求两次偏导。再把负号整理一下，临了的式子即是这样：

嗯，于是咱们就神奇般的把磁感应强度B消掉了，让这个方程只包含电场E。咱们再对比一下咱们之前絮叨了那么多得出的经典波动方程：

咱们在推导经典波动方程的时候只商量了一维的情况，因为咱们只商量波沿着绳索这一个维度传播的情况，是以咱们的收尾里唯有∂²f/ ∂x²这一项。如若咱们商量三维的情况，那么不难遐想波动方程的左边应该写成三项，这三项刚好即是f的三维拉普拉斯：

是以咱们的经典波动方程其实可以用拉普拉斯算子写成如下更普适的局面：

再望望咱们刚刚从麦克斯韦方程组中得到的电场方程：

嗯，咱们推出的电场的方程跟经典波动方程的局面是一模一样的，目下咱们说电场E是一个波，你还有任何异议么？

咱们把电场E变成了一个孤独的方程，代价是这个方程变成了二阶（方程出现了平时项）的。对于磁场，一样的操作，咱们对真空中麦克斯韦方程组的方程4（▽×B=μ0ε0（∂E/ ∂t））双方取旋度，再叠加一次上头的进程，就会得到孤独的磁感应强度B的方程：

这样，咱们就发现E和B都满足波动方程，也即是说电场、磁场都以波动的局面在空间中传播，这天然即是电磁波了。

15电磁波的速率

对比一下电场和磁场的波动方程，你会发现它们是局面是一模一样的（即是把E和B互换了一下），这样，它们的波速也应该是一样的。对比一下经典波动方程的速率项，电磁波的速率v天然即是这样：

咱们去查一下μ0、ε0的数值，μ0=4π×10^-7N/A²，ε0=8.854187818×10^ -12 (F/m)，代入进去算一算：

再查一下真空中的光速 c=299792458m/s。

前者是咱们从麦克斯韦方程组算出来的电磁波的速率，后者是从实践里测出来的光速。有这样的数据作念撑抓，麦克斯韦畴前才敢勇猛的瞻望：光即是一种电磁波。

天然，“光是一种电磁波”在咱们目下看来并不特地，但是你纪念一下历史：科学家们是在研究各式电风物的时候引入了真空介电常数ε0，在研究磁铁的时候引入了真空磁导率μ0，它们根柢就跟光无关。麦克斯韦基于表面的好意思学和他惊东谈主的数学才气，苛刻了位移电流假说（从推导里咱们也可以看到：如若莫得麦克斯韦加入的位移电流这一项，是不会有电磁波的），预言了电磁波，然后发现电磁波的速率只跟μ0、ε0联系，还刚好就等于东谈主们测量的光速，这怎样能不让东谈主忌惮？

麦克斯韦一直以为我方在研究电磁表面，但是当他的电磁大厦落成时，他却有时地发现光的问题也被顺遂解决了，原本他一直在盖的是电磁光大厦。搞表面研究还可以买二送一，打折促销力度如斯之大，惊不惊喜，意不料外？

总之，麦克斯韦信托我方的方程，信托光是一种电磁波，当赫兹最终在实践室里发现了电磁波，并证据它的速率如实等于光速之后，麦克斯韦和他的表面赢得了无上的荣耀。爱因斯坦自后却因为不太信托我方的方程（认为寰宇不可能在扩张）转而去修改了它，于是他就错失了预言寰宇扩张的契机。当自后哈勃用千里镜不雅测到寰宇如果真扩张时，爱因斯坦为此不振不已。

16结语

纪念一下电磁波的推导进程，咱们即是在真空麦克斯韦方程组的方程3和方程4的双方取旋度，然后就很天然的得出了电磁波的方程，然后得到了电磁波的速率等于光速c。这里有一个很关节的问题：这个电磁波的速率是相对谁的？相对哪个参考系而言的？

在牛顿力学里，咱们说一个物体的速率，信托是相对某个参考系而言的。你说高铁的速率是300km/h，这是相对大地的，你相对太阳那速率就大了。这个有趣在咱们前边询查的波那里也一样，咱们说波的速率一般都是这个波相对于它所在介质的速率：比如绳索上的波通过绳索传播，这个速率即是相对于绳索而言的；水波是在波在水里传播，那么这个速率即是相对水而言的；声波是波在空气里传播（真空悦耳不到声息），声波的速率就天然是相对空气的速率。

那么，电磁波呢，从麦克斯韦方程组推导出的电磁波的速率是相对谁的？水？空气？显着都不是，因为电磁波并不需要水或者空气这种实体介质才气传播，它在真空中也能传播，否则你是怎样看到太阳光和寰宇深处的星光的？何况咱们在推导电磁波的进程中也根本莫得预设任何参考系。

于是那时的物理学家们就假定电磁波的介质是一种遍布空间的叫作“以太”的东西，于是环球伊始去寻找以太，但是怎样找都找不到。另一方面，电磁波的发现极大地支抓了麦克斯韦的电磁表面，但是它跟牛顿力学之间却存在着根本矛盾，这种情况像极了目下广义相对论和量子力学之间的矛盾。怎样办呢？

1879年，麦克斯韦去世，同庚，爱因斯坦降生，这仿佛是两代伟东谈主的一个交代典礼。麦克斯韦电磁表面与牛顿力学之间的矛盾，以及“以太”这个大坑都被年青的爱因斯坦惩处了，爱因斯坦惩处它们的表率即是大名鼎鼎的狭义相对论。其实，当麦克斯韦把他的电磁表面苛刻来之后，狭义相对论的问世就简直是势必的了，因为麦克斯韦的电磁表面其实即是狭义相对论框架下的表面，这亦然它跟牛顿力学冲破的中枢。是以，爱因斯坦才会把他狭义相对论的论文取名为《论动体的电能源学》。

麦克斯韦的电磁表面竣事了一个时间，却又开启了一个新时间（相对论时间），它跟牛顿力学到底有什么矛盾？为什么非得狭义相对论才气解决这种矛盾？这些将是我后头要询查的重心。我会艰苦让环球看到科学的发展有它泄露的内在逻辑和原因，并不是谁拍拍脑袋就苛刻一个惊天动地的新表面出来的。

此外，电磁表面和牛顿力学的交融是东谈主类解决两个相等顺利却又平直冲破表面的一次相等珍视的教育，这跟咱们目下边临的问题（广义相对论和量子力学的冲破）相等雷同。我但愿简略通过这种讲明给心爱科学的少年们一些启示，让他们以后头对广义相对论和量子力学冲破的时候，简略有一些灵感。

嗯，没错，我在期待异日的爱因斯坦~